الفرق بين مربعين .. الصف التاسع

عرفت من دراستك السابقة أن المربع شكل أضلاعه الأربعة متساوية وزواياه قوائم , وأن المستطيل هو شكل رباعي زواياه قوائم وكل ضلعين متقابلين فيه متساويان .
1. غرفة مربعة الشكل طول ضلعها 5 م كم مساحتها ؟
2. غرفة مستطيلة الشكل طولها 5 م وعرضها 4 م , كم مساحتها ؟

تحليل الفرق بين مربعين :
1. ارسم على ورق المربعات مربعاً طول ضلعه س سم
( كما في الشكل ) , كم مساحته ؟
2. عند أحد رؤوسه ( كما في الشكل ) ارسم مربعاًُ طول ضلعه ص سم . كم مساحة المربع الصغير الجديد ؟
3. قص المربع الصغير من الشكل ؟
كم مساحة الشكل المتبقي بدلالة س2 , ص2 ؟ اكتبها .
4. اقسم الشكل المتبقي إلى مستطيلين , إما برسم خط بالمسطرة أو قصه بمقص أجب عما يلي من أسئلة بدلالة س و
( أو ) ص .

5. كم طول المستطيل الاول ؟
6. كم عرض المستطيل الأول ؟
7. كم مساحة المستطيل الأول ؟
8. أجب عن اسئلة مشابهة للسابقة بالنسبة للمستطيل الثاني ؟
9. كم مساحة المستطيلين معاً ؟
مساحة المستطيل الأول + مساحة المستطيل الثاني
10. لكن مساحة المستطيلين = س2 ـ ص2 ( الفرق بين مساحة المربعين ).
إذن س2 ـ ص2 = س ( س ـ ص) + ص ( س ـ ص)
وبأخذ العامل المشترك وهو ( س ـ ص)
إذن س2 ـ ص2 = ( س ـ ص) ( س + ص)
ولو كررت العمل على مربعات أخرى لحصلت على النتيجة ذاتها.
إذن الفرق بين مساحتي مربعين = مساحة مستطيل
طوله = مجموع طولي المربعين وعرضه = الفرق بين طوليهما .
أي أن س2 ـ ص2 = ( س + ص) ( س ـ ص)
وبالتحليل :
س2 ـ ص2
= ( س ـ ص ) (س + ص)

تحليل الفرق بين مكعبين

تعرف من دراستك السابقة ومن خبراتك في الحياة وجود شكل نسميه المكعب ، فخزان الماء الذي طوله = عرضه = ارتفاعه = 1م ، هو خزان مكعب الشكل يتسع لمتر مكعب واحد من الماء لأن حجم المكعب
(طول ضلعه)3 وفي مثالنا (1م)3 = 1م × 1م × 1م
= 1م3
وإذا كان في أحد المنازل بئر ماء مكعب طوله 5م فإن حجم البئر = (5م)3= 5م × 5م × 5م = --- م3. جد الجواب الحسابي بنفسك .
وإذا كان حجم مكعب = 64سم3 فكيف نحسب طول ضلعه ؟ لا شك أنك تذكر هذه العلامة
إنها

الجذر التكعيبي ، فإذا أردنا أن نعرف طول المكعب في حالتنا نأخذ الجذر التكعيبي للحجم :



تذكر أن سم3 تعني سم × سم × سم وبالتالي فإن جذرها التكعيبي هو سم .

سؤال : مكعب طول ضلعه 10 سم ومكعب آخر طول ضلعه 5 سم ، كم الفرق بين حجميهما ؟
كم حجم المكعب الأول ؟
الجواب : (10 سم)3
= 10 سم × 10 سم × 10 سم = 1000 سم3
كم حجم المكعب الثاني ؟
الجواب : (5 سم)3 = 5 سم × 5 سم × 5 سم
= 125 سم3
الفرق بين حجميهما = 1000 – 125 = 875 سم3

ويمكن أن نعبر عن الفرق بين الحجمين بطريقة أخرى هي :
الفرق بين حجمي المكعبين = حجم المكعب الأول – حجم المكعب الثاني
= (10)3 – (5)3 = 875 سم3 (كما وجدنا أعلاه)
لقد وجدنا قبل قليل وعن طريق العملية الحسابية المباشرة أن (10)3 – (5)3 = 875 ، ويمكنك أن تجد بسهولة أن :
(2)3 – (1)3 = 7 ، وأن (5)3 – (4)3 = 61 ... الخ .
ولكن ما هي الطرق الأخرى لإيجاد الفرق بين مكعبين ؟ جواباً على هذا نقول هنالك أكثر من طريقة
اكتشفها الإنسان ومنها تحليل هذا المقدار إلى عوامله ، وهذا ما سنحاول إثباته من أمثلة حقيقية .


مثال (1) :
(2)3 – (1)3 = (2 × 2 × 2) – (1 × 1 × 1)
مكعب العدد (2) – مكعب العدد (1) = 8 – 1 = 7

لنقارن هذه النتيجة مع حاصل ضرب القوسين التاليين :
(2 – 1) (2 2 + (2 × 1) + 1 2)
= (1) (4 + 2 + 1) = 1 × 7 = 7



النتيجة :
إن مقدار الفرق بين مكعبين يحلل إلى قوسين مضروبين في بعضهما ، يحوي الأول منهما حدان هما :

ويحوي القوس الثاني ثلاثة حدود هي (أكمل الفراغات في العبارة)
مربع الجذر التكعيبي للحد الأول + الجذر التكعيبي للحد الأول × ____ + مربع الجذر التكعيبي _____

وبالتعبير الرياضي العام
أ 3 – ب 3 = ( أ – ب ) ( أ 2 + أ ب + ب 2 )

تدريبات :
حلل المقادير التالية إلى عواملها الأولية :
1) 8 س3 – 27 ص3
2) ع3 – 64 ل3
3) (15)3 – (10)3 أوجد القيمة العددية
4) (20)3 – (17)3 أوجد القيمة العددية
5) (35)3 – (25)3 أوجد القيمة العددية


عالجنا في الدرس السابق تحليل المقدار س3 ـ ص3 أي الفرق بين مكعبين, وقد تبين لنا أنه يمكن تحليله إلى قوسين فماذا عن مجموع مكعبين مثلاً ماذا عن تحليل س3 + ص3 ؟ إن هذا المقدار قابل للتحليل أيضاً كما سنشاهد تالياً .

تحليل مجموع المكعبين :
حتى تتعرف على قوسي تحليل مجموع المكعبين سندرس أمثلة عددية بسيطة تساعدنا في معرفة الأمر وتذكره على المدى الطويل .
1. من السهل عليك أن تحسب (1)3 + (2)3 شفهياً فهي تساوي 9 , ولكن لنلاحظ أنه يمكن الحصول على النتيجة بطريقة أخرى غير الطريقة المباشرة .
(1)3 + (2)3 =


= ( 1 + 2 ) ( 1 ـ 2 + 4)
= 3 × 3 = 9
2. احسب مقدار (5)3 + (4)3
الطريقة المباشرة = ( 5 × 5 × 5) + ( 4 × 4 × 4 )
= 125 + 64 = 189

طريقة التحليل = (5)3 + (4)3
= ( 5 + 4) ( 25 ـ ( 5 × 4 ) + 24 )
= (9) (25 ـ 20 + 16)
= 9 × 21 = 189

3. احسب مقدار (15)3 + ( 20)3

الطريقة المباشرة = (15 × 15 × 15 ) + ( 20 × 20 × 20 )
= 3375 + 8000 = 11375
طريقة التحليل = (15)3 + (20 )3
= ( 15 + 20 ) ( 215 ـ ( 15 × 20 ) + 220 )
= ( 35) ( 225 ـ 300 + 400)
= 35 × 325
= 11375





نتيجة :

ويحتوي القوس الثاني على مربع الجذر التكعيبي للحد _________ + حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحد الاول في الجذر التكعيبي للحد الثاني + مربع الجذر التكعيبي للحد ــــــــــــ
يمكنك بسهول إكمال فراغات العبارة السابقة .

لنلاحظ الآن أن : أ3 ـ ب3 = ( أ ـ ب) ( أ2 + أب + ب2)
وأن أ3 + ب3 = ( أ + ب ) ( أ2 ـ أ ب + ب2)
عندما تكون العبارة فرق مكعبين تكون إشار حاصل ضرب الجذرين موجبة . وعندما تكون العبارة مجموع مكعبين تكون إشارة حاصل ضرب الجذرين سالبة .

درست في دروس سابقة أن العبارة التربيعية س2 + 6س + 9 هي مربع كامل وتحليلها هو (س + 3)
إذا كانت العبارة التربيعية مربعاً كاملاً أم لا ؟ وعلى سبيل تذكيرك عليك أن تجيب عن السؤال التالي لوحدك.
ـ أي العبارات التالية مربعاً كاملاً وأيها ليست كذلك ؟ اقترح إضافة أو طرح حدود مناسبة لجعل ما هو ليس مربعاً كاملاً منها يتحول إلى مربع كامل .
1) س2 + 10س + 25
2) 16ع2 ـ 24ع ل + 9ل2
3) س2 + س ص + ص2
4) 49ك2 ـ 74 ك ص + 25 ص2
5) 4س4 ـ 100 س2 م2 + 81 م4



تحليل العبارة التربيعية بإكمال المربع :

تبدو الكثير من العبارات التربيعية ( التي اتفقنا على إعطائها الشكل العام أس2 + ب س + ج) غير قابلة للتحليل للوهلة الأولى , ولكن بعد التمعن فيها وإجراء بعض التغييرات على شكلها ( دون تغيير قيمتها) نجد أن تحليلها أصبح ممكناً . ادرس العبارة 16ب4 + 4ب2 + 1 ومظهرها يدل على أنها غير قابلة للتحليل , ولكنها في واقع الأمر عبارة تربيعية قابلة للتحليل , وقد أشرنا إلى ذلك في الدرس الثامن حيث ورد في السؤال رقم (1) من التقويم فرع (3) طلب تحليل العبارة 64ب6 ـ 1 ونعيد تحليل هذه العبارة بعدة طرق .

الطريقة الأولى : تحليل العبارة على أنها فرق بين مربعين
1) 64ب6 ـ 1 = ( 8ب3 ـ 1)(8ب3 + 1) لقد أدت هذه الخطوة إلى ظهور عبارة جديدة مكونة من قوسين يحوي الاول فرق بين مكعبين ويحوي الثاني مجموع مكعبين وكلاهما قابل للتحليل , إذن :

2) 64ب6 ـ 1 = (8ب3 ـ 1)(8ب3 + 1)
= (2ب ـ1)(4ب2 + 2ب + 1)(2ب+ 1)(4ب2 ـ 2ب + 1)
لقد انتهت عملية التحليل وحصلنا على أربعة أقواس مضروبة في بعضها وهي ( بعد إعادة ترتيبها )
= (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(4ب2 +2ب + 1)(4ب2 ـ 2ب + 1)

الطريقة الثانية :
نبدأ بتحليل العبارة 64ب6 ـ 1 على أساس أنها فرق بين مكعبين وهي حقاً كذلك :
1) 64ب6 ـ 1 = (4ب2 ـ 1)(16ب4 + 4ب2 + 1)
لقد أدت هذه الخطوة إلى ظهور قوسين الأول منهما مكون من فرق بين مربعين قابل للتحليل , والثاني عبارة تربيعية غير قابلة للتحليل ( ظاهرياً ) , لننتقل الآن إلى الخطوة (2) وهي متابعة التحليل .
2)64ب6 ـ 1 = (4ب2 ـ 1)(16ب4 + 4ب2 + 1)
= ( 2ب ـ 1)(2ب + 1)(16ب4 + 4ب2 + 1)
وهكذا حصلنا نتيجة هذه الطريقة على تحليل جديد للمقدار 64ب6 ـ 1 يتكون من ثلاثة أقواس , فكيف حدث هذا ؟؟
هل للعبارة تحليلان مختلفان ؟
الطريقة الثالثة : لقد تبين أن :
1)64ب6 ـ 1 = (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(4ب2 + 2ب + 1) (4ب2 ـ 2ب + 1)
2) 64ب6 ـ 1= (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(16ب4 + 4ب2 + 1)
إذن لا شك أن :
(16ب4 + 4ب2 + 1) = (4ب2 + 2ب + 1)(4ب2 ـ 2ب + 1)
إذن العبارة 16ب4 + 4ب2 + 1 عبارة تربيعية قابلة للتحليل في قوسين هما :
(4ب2 + 2ب+ 1)(4ب2 ـ 2ب+ 1) , ولكن هذه العبارة التي تبدو وكأنها مربعاً كاملاً ليست كذلك , فماذا ينقصها حتى تصبح مربعاً كاملاً قابلاً للتحليل في قوسين متشابهين ؟ جرب الإجابة على هذا السؤال بنفسك قبل متابعة الخطوة التالية :
3) 16ب4 + 4ب2 + 1 + 4ب2 ـ 4ب2
لقد أضفنا وطرحنا 4ب2 للعبارة أي أننا لم نضف لها شيئاً وبالتالي بقيت العبارة كما هي بدون تغيير في القيمة , إن هذا يمكن تشبيهه كأن يعطيك أحدهم أربعة أشياء ثم يأخذها ذاتها منك , إنه لم يعطك شيئاً في الحقيقة .

4) بإعادة كتابة العبارة السابقة بترتيب جديد تصبح :
(16ب4 + 8ب2 + 1) ـ 4ب2
والعبارة داخل القوس مربع كامل يمكن كتابته على صورة :
16ب4 + 8ب2 + 1 = (4ب2 + 1)2

5) إذن تصبح عبارتنا :
16ب4 + 4ب2 + 1 = (4ب2 + 1)2 ـ 4ب2
والطرف الأيسر هو فرق بين مربعين يمكن تحليله بسهولة
= (4ب2 + 1 ـ 2ب) (4ب2 + 1 + 2ب)

وبإعادة الترتيب :
= (4ب2 ـ 2ب+ 1)(4ب2 + 2ب + 1)
تدعى هذه الطريقة طريقة إكمال المربع لأننا أضفنا حداً هو (4ب2) ( وطرحناه في مكان آخر بالطبع ) جعل العبارة التربيعية 16ب4 + 4ب2 + 1 تصبح مربعاً كاملاً هو 16ب4 + 8ب2 +1

مثال آخر :
حلل العبارة التربيعية 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4
تحليل السؤال حتى تكون العبارة مربعاً كاملاً يجب أن تكون على صورة :




ولكن العبارة المعطاة هي 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 ويمكننا أن نكتبها على الشكل :
4س4 + 36س2 ع2 + 81ع4 بإضافة وطرح 76س2 ع2 لأن
4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 = 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 + 76س2 ع2 ـ 76س2 ع2
= (4س4 + 36س2 ع2 + 81ع4 ) ـ 76س2 ع2
= (2س2 + 9ع2)2 ـ 76س2 ع2

ونظراً لعدم وجود جذر صحيح للعدد (76) فلن نعتبرها فرقاً بين مربعين ( ولكنها في الواقع كذلك ويمكن


أو نكتبها على الشكل :
4س4 ـ 36 س2 ع2 + 81ع4 وما علينا في هذه الحالة إلا أن نقوم بإجراء بسيط وهو كتابة الحد
ـ 40 س2 ع2 على صورة ـ 36س2 ع2 ـ 4 س2 ع2
إذن 4س4 ـ 40 س2 ع2 + 81ع4 = 4س4 ـ 36س2 ع2 + 81ع4 ـ 4س2 ع2
= (2س2 ـ 9ع2 )2 ـ 4س2 ع2
وهذا فرق بين مربعين كاملين يمكن تحليله بسهولة كما يلي .
إذن 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4
= (2س2 ـ 9ع2 ـ 2س ع)(2س2 ـ 9ع2 + 2س ع)
وباعادة الترتيب :
4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 = (2س2 ـ 2س ع ـ 9ع2)(2س2 + 2 س ع ـ 9 ع2)